Field Notes · 田野笔记

第 5 章已经把 $\tau^2$ 与预测区间用起来了，本章把"异质性"这一组诊断指标系统讲清楚。第 5 章告诉我们 $\tau^2 = 0.31$ 是研究间方差的绝对量，本章要回答：这个 $\tau^2$ 在异质性强弱坐标里处于什么位置？ $I^2 = 92\%$ 这个百分比怎么算出来？为什么报告 meta 分析时必须配齐 Q、I²、τ² 三个数字？

Meta 分析里"异质性"这个词被用来指代两类不同的现象：研究在临床或方法学上的差异（叫临床异质性和方法学异质性），与统计上效应估计之间的散布（叫统计异质性）。本章只讲统计异质性，因为它有现成的量化指标。临床和方法学异质性的判断要靠领域知识，本书不展开。

异质性的两个来源

13 项 BCG 研究的 $\mathrm{log\ RR}$ 散布在 $-1.62$ 到 $+0.45$ 之间。这种散布的来源有两个：每项研究因为样本有限会有抽样波动（同样的真实效应，重复抽样会得到不同点估计）；研究之间的真实效应可能本来就不一样（伦敦人群与马德拉斯人群的真实 BCG 效应可能根本不是一个数）。统计异质性诊断的核心任务是：把观测到的总散布拆成"抽样波动"与"真实差异"两部分，看真实差异占多大比例。

理解了这个拆解，后续 $Q$ 、 $I^2$ 、 $H^2$ 、 $\tau^2$ 之间的关系就一目了然——它们都是这个拆解的不同表达方式。

Cochran's $Q$ 检验

Cochran 1954 提出的 $Q$ 统计量是最早的异质性检验。它把每项研究的 $\mathrm{log\ RR}$ 偏离 FE 合并估计的距离按权重加权平方求和。

定义Cochran's Q

def:cochran-q

Q = \sum_{i = 1}^{k} w_i (\hat{y}_i - \hat{\mu})^2.

其中 $w_i = 1/v_i$ 是 FE 模型的逆方差权重， $\hat{y}_i$ 是第 $i$ 项研究的 $\mathrm{log\ RR}$ 估计， $\hat{\mu}$ 是 FE 合并估计， $k$ 是研究数。在原假设"所有研究估同一个真实效应"（ $\tau^2 = 0$ ）下， $Q \sim \chi^2_{k - 1}$ ，期望值等于自由度 $k - 1$ 。 $Q$ 显著超过 $k - 1$ 提示存在真实效应异质性。

为什么 $Q$ 在原假设下期望等于自由度？ 这是 $\chi^2$ 分布的性质： $\chi^2_{k-1}$ 的均值就是 $k - 1$ 。直觉上，每一项 $w_i (\hat{y}_i - \hat{\mu})^2$ 的期望大约是 1（标准化平方）， $k$ 项加起来减去用于估计 $\hat{\mu}$ 损失的 1 个自由度，剩下 $k - 1$ 。

把 $Q$ 换算成 $p$ 值是用 $\chi^2_{k-1}$ 分布查表。BCG 数据 $Q = 152.23$ ， $df = 12$ ， $\chi^2_{12, 0.95} = 21.03$ ，远小于 152.23， $p < 10^{-16}$ 。异质性极度显著。

雷区Q 检验在小研究数下功效低

$Q$ 检验在小研究数下功效低。 $k = 5$ 、 $\tau = 0.3$ 时 $Q$ 检验的功效常常不到 50%，意味着即使有真实异质性也可能漏报。 $p > 0.05$ 不能解读为"无异质性"，只能解读为" $Q$ 检验没拒绝原假设"。判断异质性应当看 $I^2$ 和 $\tau^2$ 的点估计，而不是只盯着 $Q$ 的 $p$ 值。Cochrane Handbook 从 2008 年起就明确反对" $p > 0.05$ 就用 FE 模型"的实务做法。

$I^2$ 与 $H^2$

Higgins & Thompson 2002 提出 $I^2$ ，把 $Q$ 换算成"研究间异质性占总变异的比例"，更易解读。

定义$I^2$ 与 $H^2$

def:i2-h2

Higgins & Thompson 2002 的原始公式直接由 $Q$ 推得：

H^2 = \frac{Q}{k - 1}, \qquad I^2 = \frac{Q - (k - 1)}{Q} = 1 - \frac{1}{H^2}.

其中 $Q$ 是 Cochran's $Q$ 、 $k$ 是研究数。 $H^2$ 是观测总变异与抽样变异的比， $I^2$ 是研究间真实差异占总变异的比例。 $I^2 = 0$ 表示研究间无真实差异； $I^2 = 1$ 表示几乎所有差距都来自真实异质性。

两种 $I^2$ 公式的小差异。把 BCG 的 $Q = 152.23$ 、 $k - 1 = 12$ 代入原始公式得 $I^2 = 140.23 / 152.23 = 92.12\%$ ，与 metafor 报的 $92.22\%$ 差了 0.10 个百分点。差异不是 bug，是 metafor 在 RE 模型上用了一个等价但更直接的版本： $I^2 = \tau^2 / (\tau^2 + \tilde{s}^2)$ ，其中 $\tilde{s}^2$ 是 13 项研究抽样方差按权重综合后的"典型抽样方差"。这个 generalized 形式直接用 $\tau^2$ 与抽样方差的比例度量异质性，与原始公式在异质性显著时数值几乎一致，差异常常在小数点后第二位。两个形式都对，本书所有 $I^2$ 数字以 metafor 输出为准。

把 $I^2$ 翻译成生活语言。13 项 BCG 研究的 $\mathrm{log\ RR}$ 散布有 92% 来自真实差异，只有 8% 来自抽样波动。这就像 13 个不同地区报告同一种疫苗的效果，地区之间的差异比每个地区内部的随机波动大十倍以上，意味着"全球平均效应"是个统计意义上的合并，对应不到任何具体地区。

$I^2$ 的常用解读区间是 Higgins 2003 提出的： $< 25\%$ 低、 $25\%$ – $50\%$ 中等、 $50\%$ – $75\%$ 较高、 $> 75\%$ 高。这是经验区间，不是绝对标准。临床决策应当结合 $\tau^2$ 与预测区间一起判断。

雷区把 I² 当成异质性的绝对量 / 小研究数下相信点估计

$I^2$ 有两个常见误用。其中一个是把 $I^2$ 当成异质性的绝对量。 $I^2$ 是相对比例，受抽样方差大小影响：研究内方差越小， $I^2$ 越接近 1；研究内方差越大，即使真实异质性相同， $I^2$ 也会偏小。BCG 数据 13 项研究方差跨度从 0.004 到 0.53， $I^2 = 92\%$ 这个数字依赖于方差分布的具体形态。另一个是在小研究数下相信 $I^2$ 的点估计。 $k = 5$ 时 $I^2$ 的 95% CI 常常宽到 $[0\%, 95\%]$ ，单看点估计没有信息量。metafor 的 confint 函数会同时报 $I^2$ 与它的 CI，必须一起读。

$\tau^2$ ：异质性的绝对量

$\tau^2$ 是研究间真实效应方差的绝对量，单位与 $\mathrm{log\ RR}$ 平方一致。它是 RE 模型的核心参数，第 5 章已经介绍过两种估计方法（DL 和 REML）。

定义$\tau$ 在原尺度上的解读

def:tau-rr-scale

$\tau^2$ 的开方 $\tau$ 在 $\mathrm{log\ RR}$ 尺度上是研究间真实效应的标准差。把 $\tau$ 取指数 $\exp(\tau)$ 给出 RR 尺度上的"真实效应散布因子"。例如 $\tau = 0.56$ 时 $\exp(\tau) = 1.75$ ，意思是若两个研究真实 $\mathrm{log\ RR}$ 相差 1 个标准差 $\tau$ ，二者的 RR 比为 $\exp(\tau) \approx 1.75$ 。

回到 BCG 数据。下面这段代码用 REML + HK 配置算 $\tau^2$ 与它的 95% CI（基于 Q-profile 方法）。

re <- rma(yi, vi, data = es, method = "REML", test = "knha")
ci_tau <- confint(re)
print(ci_tau)

结果解读BCG 数据的 τ² 估计与 CI

$\hat{\tau}^2 = 0.313$ ，95% CI $[0.120,\ 1.112]$ 。CI 不包含零，说明 $\tau^2$ 显著大于零，存在真实异质性。 $\hat{\tau} = 0.56$ ，对应原 RR 尺度上 $\exp(0.56) \approx 1.75$ ：13 个真实效应的 RR 差一个标准差就差出 1.75 倍。

$I^2$ 的 95% CI 是 $[81.9\%,\ 97.7\%]$ ，下界 82% 已经超过 Higgins 的"高异质性"阈值 75%。无论从点估计还是区间估计看，BCG 数据的异质性都毫无疑问。

异质性的视觉诊断

数字之外，两张图能直观展示异质性。第一张是 Galbraith plot（也叫 radial plot），横轴是研究的精度 $1 / \mathrm{SE}_i$ ，纵轴是标准化效应 $\hat{y}_i / \mathrm{SE}_i$ 。同质时所有点应该集中在一根过原点的直线两侧 $\pm 2$ 范围内；超出 $\pm 2$ 的点是异质性的视觉证据。

dat.bcg 的 Galbraith 图 — Galbraith 图。蓝色直线是 FE 合并估计对应的斜率（截距过原点）。红色虚线为标准化效应的 ±2 阈值。多项研究偏离虚线之外，是异质性显著的视觉证据。

第二张是 Baujat plot，横轴是每项研究对总 $Q$ 的贡献（异质性贡献），纵轴是每项研究对合并估计的影响力（去掉它之后合并估计变化多少）。右上角的研究既贡献异质性又主导合并，是 meta 分析里"最有问题"的研究。

dat.bcg 的 Baujat 图 — Baujat 图。横轴是研究对 Q 的贡献，纵轴是去掉该研究后合并估计的变化量。右上角的研究同时贡献异质性与影响合并，是敏感性分析的优先关注对象。

Baujat 图的右上角主要是 4 号 Hart & Sutherland 1977（高纬度强保护）与 8 号 TPT Madras 1980（赤道附近无效）。这两项分别是异质性的"两极"，正是第 7 章 meta 回归要解释的核心。

累积对比表与异质性指标完整报告

把 BCG 数据上的全部异质性指标整理成一份完整报告供后续章节引用：

表 6·1　dat.bcg 异质性指标完整报告

指标	估计	解读
$Q$	152.23	自由度 12， $p < 10^{-16}$ ，异质性极度显著
$H^2$	12.86	总变异是抽样变异的 12.86 倍
$I^2$	92.22%	总变异中超过 92% 来自真实异质性
$I^2$ 95% CI	[81.9%, 97.7%]	下界仍在 Higgins"高异质性"阈值之上
$\tau^2$	0.313	$\mathrm{log\ RR}$ 尺度上的研究间方差
$\tau^2$ 95% CI	[0.120, 1.112]	不含零， $\tau^2$ 显著大于零
$\tau$	0.56	$\mathrm{log\ RR}$ 尺度的研究间标准差
$\exp(\tau)$	1.75	RR 尺度上一倍标准差对应 1.75 倍效应差
PI (RR)	[0.136, 1.763]	未来研究的 RR 可能跨度极大（见第 5 章）

第 6 章是合并方法引入的中段节点。截至本章，全部六种合并估计（朴素合并 + 两种 FE + 三种 RE）的累积对比表如下。

表 6·2　方法对比表（截至第 6 章）

方法	logRR	RR (95% CI)	$\tau^2$	核心假设	局限
朴素合并	$-0.488$	0.61	—	2x2 表可直接相加	被大样本主导
FE-IV	$-0.430$	0.65 (0.60, 0.70)	0	共有真实效应	$I^2=92\%$ ，假设违反
FE-MH	$-0.454$	0.64 (0.59, 0.69)	0	同 FE-IV，稀疏稳健	异质性 CI 偏窄
RE-DL	$-0.714$	0.49 (0.35, 0.70)	0.309	真实效应正态分布	$\tau^2$ 小样本偏低
RE-REML	$-0.715$	0.49 (0.34, 0.70)	0.313	同 RE-DL	依赖正态假设
RE-REML+HK	$-0.715$	0.49 (0.33, 0.73)	0.313	同 RE-REML	$k$ 小时 $t$ 近似仍可能偏窄

RE-REML+HK 是本书后续章节的主分析方法。但 $\mathrm{RR} = 0.49$ 与 PI $[0.14, 1.76]$ 跨度极大的反差，意味着合并均值本身需要进一步分解：13 项研究为什么差异这么大？第 7 章用纬度作为协变量做 meta 回归，看能否把 $\tau^2 = 0.31$ 解释掉相当一部分。