1985 年，美国田纳西州议会批准了一项规模罕见的教育实验。州政府花了约 1,200 万美元，在全州 79 所小学里把 11,000 多名学生和 1,300 多位老师全部随机分配进三种班级里，连续观察四年，看小班教学是不是真的有效。这就是 Project STAR，全称 Student/Teacher Achievement Ratio。
实验设计本身极为干净。学生入学时被随机分到三种班里。第一种是小班（small class，13–17 人），第二种是常班（regular class，22–25 人），第三种是常班+助教（regular plus aide，22–25 人但配一名教学助理）。老师也是随机分配到这三种班里，和学生一起从幼儿园 K 年级开始，连续到三年级。每年学生考一次 Stanford Achievement Test，记录数学和阅读分数。
这项研究后来成了教育政策与多层建模教学的奠基样本。它一次性回答了两个问题：第一，小班教学的因果效应有多大；第二，学生分数的差异里有多少是来自老师、班级、学校的"上层"波动，而不是单个学生的随机起伏。前一个问题给政策制定者方向，后一个问题给统计学家提出了"嵌套数据怎么分析才算诚实"这个根本难题。
为了让"嵌套到底是个什么东西"不只是一个抽象说法，先看本书全程要用的这份数据的真实结构：
- 5,786 名 K 年级学生，分散在 337 个班级里。每个班级由一位老师带队。
- 这 337 个班级分散在 79 所小学里。每所小学带 4 个班，平均班里 17 人。
- 处理变量
cltype（班级类型）随机分配在班级层面：30% 的班是小班，35% 是常班，35% 是常班+助教。
学生不是独立的样本点，他们三层嵌套——学生在班级里、班级在学校里。这个事实将贯穿全书：每一章用一种新方法，让这个事实在统计推断里得到尊重。
到了 1990 年代末，Bates 和 Pinheiro 把混合效应模型的 R 工具包 nlme 推广开来，后来 Bates 又写了 lme4，把 STAR 之类的多层数据分析变成了一行 lmer 调用。这份数据被收进 mlmRev 包，称为 star，成为多层建模教学的事实标准样本，相当于因果推断教学里的 RHC、回归分析里的 mtcars。**本书全书都用这一份数据。**每一章用一种方法处理这同一份数据，到第 10 章把所有结论汇总比较。
一所学校的数据结构：学生在班级在学校
每所参加 STAR 的小学做的事其实都一样。学校把当年要入学的 K 年级新生集中起来，按完全随机的方式分配进 4 个班里，其中 1 个是小班，2 个是常班（一个带助教一个不带），剩下 1 个再补一种。老师也按随机方式分配。每年 5 月做一次标准化测试，分数交给田纳西大学的统计员录入。
整所学校的核心结构可以装进一张三行小表，行业通称嵌套层级表。下表用 K 年级数据给出全样本的真实数字。
表 1·1 STAR K 年级数据的三层结构（真实数字）
| 层级 | 单位数 | 平均嵌套子数 | 符号 |
|---|---|---|---|
| 学校 school | 79 所 | 约 4 个班 / 校 | （学校索引） |
| 班级 class / teacher | 337 个 | 约 17 名学生 / 班 | （班级索引） |
| 学生 student | 5,786 名 | — | （学生索引） |
读这张表的方法是从下往上一层层套。最底下一层是学生，每名学生留下一份分数 。中间一层是班级，平均 17 名学生坐在同一个班里、由同一位老师教。最上面一层是学校，平均 4 个班同属一所小学，共享同一个校长、同一套课程编排、同一份社区生源。
为什么要这样画这张表？因为本书后面所有多层模型方法，本质上都从这三层结构开始。5,786 名学生 = 337 个班 = 79 所学校。lme4 包用 (1|sch/tch) 的语法表示"班级嵌套在学校里"，背后正是这张表的层级关系。本书后续章节里出现的索引 都回到这张图。
停下来想一想。 如果你能告诉别人某名学生的 三个索引各是多少，你就完整定位了这名学生在数据里的位置。同班同学共享同一个 ，同校同学共享同一个 。这就是多层建模整理研究数据的最小单位。
班级类型与考试分数：朴素均值对比
知道了三层结构，怎么算"小班到底有没有用"？
最直觉的做法是看三种班级类型的平均分数，每个班里所有学生的数学分数加起来除以人数。三类的真实数字列在下表。
表 1·2 K 年级三类班级的朴素均值（math 分数）
| 班级类型 | 班级数 | 学生数 | 平均班级人数 | 数学均值（SD） |
|---|---|---|---|---|
| 小班 small | 131 | 1,738 | 13.3 | 491.4 (49.4) |
| 常班 reg | 103 | 2,005 | 19.5 | 483.3 (47.5) |
| 常班+助教 reg+A | 103 | 2,043 | 19.8 | 482.9 (45.9) |
最直观的对比是小班减去常班： 分。换句话说，分到小班的孩子平均比分到常班的孩子多考 8.1 分。常班+助教那一类几乎和不带助教的常班一样（），助教这个变量看起来没用。
用一个完全不需要教育学背景的例子理解这个差距：100 个学生考 0 到 800 分之间的标化测试，全样本的标准差大约是 47 分，所以 8 分相当于 0.17 个标准差。这是个不大但也不能忽视的差距，相当于把一个班的中等水平推到中等偏上。
对一份随机分配处理的数据，小班效应定义为
其中 是分到小班的学生数学均值， 是分到常班的学生数学均值。它衡量"把孩子从常班调进小班"在分数上能换来多少提升。
朴素估计 分这个数字看起来直接、可复现，但它隐藏了一个严重的统计问题：它假设 5,786 名学生互相独立。同一个班的 20 个学生共享同一位老师、同一个教室、同一个学习氛围，他们的分数高度相关。把他们当成 20 个独立观测来计算这个差距的标准误，会算出一个比真实情况小很多的不确定度，让"小班 +8 分"看起来比真实更可信。这个问题就是本书第 2 章要面对的核心。
学校层面的差异：一份数据的"伏笔"
扫一眼上面那张朴素均值表，会注意到一个隐藏的事实：三类班级的数学均值都在 483 到 491 之间，跨度只有 8 分。但这只是把全样本平均得到的数字。如果按学校分组看，每所学校的均值差别能拉到 124 分——最差的学校均值是 427，最好的学校均值是 551。
这个事实不是巧合，它说明 STAR 数据里有大量学校层面的系统性差异。这些差异来自学校所在社区的社会经济水平、师资条件、学校管理质量等等不可测变量。如果不把学校层面这部分变异分离出来，"小班 +8 分"这个结论会被学校间的巨大噪声淹没。
班级层面也有类似情况。337 个班的均值跨度从 405.7 分到 580.5 分，跨度 175 分，比跨校差异更夸张。这部分跨班差异里，一部分来自老师质量，一部分来自班里学生的随机组合，一部分来自小班 vs 常班的处理效应本身。如何把这三部分分开，是第 3 到第 8 章轮番要解决的问题。
停下来想一想。 一名学生的分数同时受三种力量影响：自己的能力（学生层）、老师与班里同学的平均水平（班级层）、学校与社区环境（学校层）。一个朴素的分数差 分把所有这些力量都搅在了一起。多层建模就是把这些力量一层层拆开来看的工具。
全书路线图
本书的结构沿着这条思路展开。第 2 章先用最朴素的 OLS 跟带班级随机截距的 lmer 对比，把"为什么忽略嵌套会算错标准误"这件事说清楚，并给出关键诊断指标——组内相关 ICC。第 3 章详细讲空模型的方差分解，让读者亲眼看到 VarCorr 的输出怎么解读。第 4 章把学生层协变量加进 Level-1，讨论中心化的两种做法。第 5 章把处理变量 cltype 加进 Level-2，给出本书的核心因果估计。第 6 章引入随机斜率，讨论 SES 效应是否在班级间随机变化。第 7 章用跨层交互回答"小班对低 SES 学生有没有额外作用"。第 8 章把学校层加进来，跑完整的三层模型。第 9 章做模型诊断与影响分析。第 10 章把所有方法的小班效应估计并列出来对比。
每一章末尾都会更新一张累积对比表，把当前章给出的小班效应、对应标准误、方差分量并列上去。读者如果想直接跳到结论，第 10 章的终极对比表会一目了然地展示：从朴素 OLS 到三层 HLM，"小班效应"这个数字是怎么从 +8.21（SE = 1.56，）漂移到 +8.84（SE = 2.63，）的。点估计基本没变，但对它的把握度变了。这就是多层建模的全部价值。