Field Notes · 田野笔记

第 5 章把处理变量 cltype 加进 Level-2，得到本书核心的 $+7.7$ 分小班效应。模型里所有学生层协变量（性别、族裔、家境）的斜率都被默认为所有班级共享同一个值。比如低 SES 学生比非低 SES 学生平均低 $-19.7$ 分，这个差距被假定为每个班级、每位老师都一样。

但这个假设其实很强。有的班级里老师特别善于照顾家境困难的学生，让 SES 差距收窄；另一些班里这个差距可能拉得更大。把这种"斜率本身在班际变动"的可能性写进模型，就是本章要做的事。技术上叫随机斜率（random slope）。本章用 STAR 数据跑出来，明确给出一个负面结论：在这份数据上，SES 斜率的班际异质性几乎不存在。但负面结论也有教学价值——它告诉读者随机斜率不是想加就加，需要 LRT 给出依据。

随机斜率：让协变量的影响在组间变化

先看一个生活类比：每个班对低 SES 学生的"关照度"不同

想象同一个学区里两位老师。第一位老师特别擅长辅导家境困难的学生，会主动给免费午餐学生留作业本、组织放学后的小组学习。在她的班里，低 SES 学生跟非低 SES 学生的分数差距可能只有 10 分。第二位老师完全按教材进度走，从不针对差异学生做调整，他班里低 SES 学生跟非低 SES 学生的差距可能拉到 25 分。

如果用 M5 那种"全班级共享一个 SES 斜率"的模型来分析这两个班，得到的会是一个平均斜率——大概 $-19.7$ 分，但这个数字模糊掉了班际的真实差异。把"每位老师对低 SES 学生的关照度"作为班级的另一个特征写进模型，就是随机斜率要解决的问题。

随机斜率的概念可以简单说成：斜率不只一个，每个班一个，全样本的斜率分布有均值有方差。均值就是 M5 给出的固定斜率 $-19.7$ ，方差是新东西，叫斜率的随机方差。

随机斜率的形式定义与几何含义

定义随机斜率

def:random-slope

设 $x_{ik}$ 是学生 $i$ 在班级 $k$ 的某个协变量（如 ses_F）。随机斜率模型把这个协变量的斜率允许在班级之间变化：

y_{ik} = (\beta_0 + u_{0k}) + (\beta_1 + u_{1k}) x_{ik} + e_{ik},

其中 $\beta_0, \beta_1$ 是固定效应（全样本的平均截距与平均斜率）， $u_{0k} \sim N(0, \tau_0^2)$ 是班级 $k$ 的随机截距偏差， $u_{1k} \sim N(0, \tau_1^2)$ 是班级 $k$ 的随机斜率偏差， $e_{ik} \sim N(0, \sigma^2)$ 是学生残差。

随机斜率的固定+偏差加性结构 — 随机斜率把每个班级的协变量影响拆成固定平均斜率 β₁ 与班级随机偏差 u_{1,k} 两部分相加。班级偏差服从均值为 0、方差为 τ₁² 的正态分布——τ₁² 越大，班际斜率越发散；τ₁² 接近 0 时所有班级斜率几乎相同，模型退化回 M5。

公式里 $u_{1k}$ 是新东西。它的含义是"第 $k$ 个班级的 SES 斜率比全样本平均斜率 $\beta_1$ 多出多少"。 $u_{1k} > 0$ 的班级里，低 SES 学生跟非低 SES 学生的差距比平均小（因为 $\beta_1$ 是负数，加上正的 $u_{1k}$ 等于差距变小）； $u_{1k} < 0$ 的班级里，差距比平均更大。 $\tau_1^2$ 度量了这种班际异质性的强度，是模型新引入的参数。

几何上，M5 的拟合给出一条共同的直线（截距随班级变，斜率不变）。M7 的拟合给出每班一条直线（截距和斜率都随班级变）。如果 $\tau_1^2$ 很大，30 个班的 30 条直线会"扇形发散"；如果 $\tau_1^2$ 接近 0，30 条直线几乎平行，跟 M5 给出的一条直线没差。本章要回答的就是 STAR 数据里到底是哪种情况。

随机效应协方差矩阵 G：斜率与截距相关吗

定义随机效应协方差矩阵

def:G-matrix

设班级 $k$ 的随机效应向量为 $(u_{0k}, u_{1k})^\top$ ，假设它服从二维正态：

\begin{pmatrix} u_{0k} \\ u_{1k} \end{pmatrix} \sim N\!\left(\mathbf{0},\ G\right),\quad G = \begin{pmatrix} \tau_0^2 & \tau_{01} \\ \tau_{01} & \tau_1^2 \end{pmatrix}.

其中 $\tau_0^2$ 是截距的班际方差， $\tau_1^2$ 是斜率的班际方差， $\tau_{01}$ 是截距与斜率的协方差。

为什么要写出 $G$ 矩阵？因为它告诉你"截距高的班是不是斜率也大"。如果 $\tau_{01} > 0$ ，整体均值高的班同时也是低 SES 差距小的班——这种班可能是优质学校里的精英班，整体水平高且教师补偿能力强。如果 $\tau_{01} < 0$ ，平均水平高的班反而对低 SES 学生不照顾，可能是"高水平老师压根没碰过差生"那一类。

lme4 的语法用两种方式写随机斜率。(1 + ses_F | tch) 让截距和斜率随班级变化且相关，估计完整的 $G$ 矩阵（含 $\tau_{01}$ ）；(1 + ses_F || tch) 让两者独立变化，强行假设 $\tau_{01} = 0$ ，只估计 $\tau_0^2$ 和 $\tau_1^2$ 两个数。

为什么 lme4 提供这两种？因为完整的 $G$ 矩阵在小样本下不容易估准， $\tau_{01}$ 这个协方差经常贴边——非常接近 $\pm 1$ 或非常接近 0。分析者如果只关心"斜率有没有班际变化"，用独立写法（双竖线）就够了，参数少一个，模型更稳。本章先跑独立写法的 M7 给出 LRT 结论，再跑相关写法的 M8 让读者感受两者的差别。

学术背景：Goldstein 1986 的随机系数模型

随机斜率的统计史可以追到 1980 年代中期。Goldstein (1986) 在 Biometrika 上发表了《多层混合线性模型分析》，把当时教育统计里"教师效应"和"学生背景"的双层数据结构正式纳入混合模型框架。Goldstein 当时是英国教育统计学会的核心人物，他写的 Multilevel Statistical Models 教材后来成了多层建模领域的基础读物。

随机斜率这个概念在 Goldstein 之前其实已经在统计学里以"随机系数模型"的名字流传（如 Laird & Ware 1982），但 Goldstein 把它跟教育数据的具体结构对齐，让"班级差异不只在均值上、还在 SES 效应上"这种问题变成可以建模的东西。lme4 的 lmer 函数就是直接继承这条工作线索。

M7 与 M8：让 SES 斜率随班级变化

下面用 lme4 把随机斜率加进 M5 的模型，得到 M7（无相关）和 M8（有相关）。

library(lme4); library(lmerTest); library(tidyverse); library(here)

d <- read_csv(here::here("data", "star_k.csv"), show_col_types = FALSE) |>
  filter(!is.na(math), !is.na(cltype), !is.na(tch),
         !is.na(sx), !is.na(eth), !is.na(ses)) |>
  mutate(
    sex_F  = ifelse(sx == "F", 1, 0),
    eth_B  = ifelse(eth == "B", 1, 0),
    ses_F  = ifelse(ses == "F", 1, 0),
    cltype = factor(cltype, levels = c("reg", "reg+A", "small"))
  )

# M5 参照：仅随机截距
m5 <- lmer(math ~ cltype + sex_F + eth_B + ses_F + (1 | tch),
           data = d, REML = TRUE)

# M7：加随机斜率（无截距-斜率相关）
m7 <- lmer(math ~ cltype + sex_F + eth_B + ses_F +
             (1 + ses_F || tch), data = d, REML = TRUE)

# M8：放开截距-斜率相关
m8 <- lmer(math ~ cltype + sex_F + eth_B + ses_F +
             (1 + ses_F | tch),  data = d, REML = TRUE)

# LRT 检验：M5 vs M7（用 ML 拟合，REML 不能直接做 LRT）
m5_ml <- update(m5, REML = FALSE)
m7_ml <- update(m7, REML = FALSE)
anova(m5_ml, m7_ml)

LRT 给出的关键数字是 $\chi^2 = 0.5427$ ，自由度 1，p 值 $0.4613$ 。

结果解读

LRT 的 p 值 $0.4613$ 显著高于 $0.05$ ，随机斜率不显著。这意味着加进 $\tau_1^2$ 这个新参数并没有让模型显著变好，本数据里 SES 斜率在班级间的变化跟"全用同一个斜率"的假设统计学上无法区分。

从数字看，固定 SES 斜率是 $-19.68$ 分，班级层斜率 BLUP 的 SD 大约是 $1.19$ ，班际斜率 SD 占固定斜率的 $6\%$ 左右。也就是说，估计出来的"班际斜率波动"绝对值很小——绝大多数班的 SES 斜率都在 $-21$ 到 $-18$ 之间，跟全样本平均几乎没差。

这跟第 5 章的小班效应相反。小班效应数字大（ $7.7$ 分）且显著（p $=$ 0.035），随机斜率参数小（SD 1.19）且不显著（p $=$ 0.46）。两个对比放在一起恰好让读者感受到"哪些异质性该建模、哪些不该"。

把代码跑完后，画一张 spaghetti 图直观看一下班际斜率的变异：30 个随机抽取班级的 SES 斜率几乎平行，肉眼几乎看不到扇形发散；再把每个班的 SES 斜率取出来画成直方图，分布也极度集中在固定斜率 $-19.68$ 分附近，班际 SD 仅 $1.19$ 。

30 个班级的 SES 斜率 spaghetti 图 — 30 个随机抽取班级的 SES 斜率。每条蓝线一个班，红线为全班级平均；30 条线几乎平行，肉眼几乎看不到扇形发散。

随机斜率的班级分布直方图 — 随机斜率的班级分布。固定斜率 −19.68 分（红虚线），班际 SD 仅 1.19。绝大多数班的 SES 斜率都贴着固定斜率附近。

方差成分检验的雷区：边界问题与 p 值减半

LRT 给出 p $=$ 0.46 这个数字之前，还有一个边界问题需要交代清楚，本节把这个细节补上。

雷区anova 给出的 LRT p 值在检验方差成分时需要除以 2

否则会偏保守。

原因是零假设处于参数空间的边界。检验" $\tau_1^2 = 0$ "时， $\tau_1^2$ 这个参数本身只能取非负值，零假设就在 $[0, \infty)$ 的左端点。在这种边界情形下，似然比统计量的渐近分布不再是标准的 $\chi^2_1$ ，而是 $0.5 \chi^2_0 + 0.5 \chi^2_1$ 的混合分布——一半概率取 0，一半概率取 $\chi^2_1$ 。

实际效果是：anova 默认按 $\chi^2_1$ 算 p 值，偏向把模型差异看小。正确做法是把 anova 给的 p 值除以 2，或者用 RLRsim 包做参数 bootstrap。

诊断方法。 如果 anova 给的 p 值在 $0.05$ 到 $0.10$ 之间，把它除以 2 后可能会跨过 $0.05$ 显著线，结论会反转。这种"擦边球"案例最危险。本章 STAR 数据的 p 值 $0.4613$ 即使除以 2 也是 $0.231$ ，远大于 $0.05$ ，结论不变；但如果你看到的 p 值是 $0.07$ ，就一定要做这个修正。

记忆方法。 方差成分的 LRT 是"半截 $\chi^2$ 检验"，p 值要打五折。

随机斜率不显著的解读：为什么这是个有用的负面结论

LRT 给出 p $=$ 0.46，p 值除以 2 也是 0.23，结论稳稳落在"不显著"那边。但负面结论不是"白跑了"，它至少告诉读者两件有用的事。

负面结论的第一层含义是 M5 的设定可以放心用。如果随机斜率显著，M5 给出的固定 SES 斜率 $-19.7$ 就只是一个班际平均，遮住了一些班特别大、一些班特别小的真实异质性。LRT 显示这种异质性在 STAR 数据里小到统计学上不存在，因此 M5 的 $-19.7$ 可以直接解读为所有班的共同 SES 效应，不需要再追加随机斜率。

负面结论的第二层含义是随机斜率不能"想加就加"。多层模型里有个常见的过度拟合做法，是把每个学生层协变量都设成随机斜率，让模型的方差结构尽可能丰富。但每个随机斜率都要估计 $\tau_l^2$ （如果用相关写法还要估计 $\tau_{0l}$ 协方差），参数越多对样本量要求越高，小样本下经常给出"奇怪斜率 + 奇怪协方差"的结果。LRT 的负面结论给"不必要加随机斜率"提供了硬证据。

停下来想一想。 随机斜率不显著是不是意味着"班级老师对学生没影响"？不是。意味着"班级老师对低 SES 学生与非低 SES 学生的差距没有差别"。两位老师可能都让全班整体加 5 分（这进入随机截距 $u_{0k}$ 而不是斜率 $u_{1k}$ ），但他们对 SES 差距的处理可能很相似。STAR 数据的随机分配也帮了忙——既然班级是随机分的，"擅长照顾低 SES 学生"的老师不会系统性地集中在某类班级上，整体看起来 SES 斜率就近乎一致。

累积方法对比表更新

把本章的 M7（即使不显著）也加进累积表，让读者直观看到加随机斜率前后小班效应几乎没变化。

表 6·1　累积方法对比（截至第 6 章）

方法	小班 $\beta$	SE	95% CI	$\sigma^2_{\text{class}}$
OLS 朴素	8.21	1.56	[5.15, 11.27]	—
M4：cltype + (1\|tch)	7.90	3.76	[0.55, 15.26]	685
M5：+ 学生协变量	7.68	3.63	[0.57, 14.79]	640
M6：再 + 教师工龄	7.73	3.61	[0.66, 14.80]	632
M7：+ 随机斜率（LRT 不显著）	7.69	3.63	[0.57, 14.81]	640

M7 这一行只是为了"对比展示"。LRT 既然给出 p $=$ 0.46，正式报告里不会保留 M7 作为最终模型，本书后面继续以 M5 / M6 作为基准模型走下去。

下一章预告

第 6 章给出了一个负面结论：低 SES 学生的"分差"在班级之间几乎没有变化。但还有一个更实质的政策问题：小班对低 SES 学生有没有特别的好处？

这个问题问的是"cltype 对 ses_F 的效应有没有差异"——也就是处理变量与学生层协变量的交叉。它需要的工具是跨层交互项，而不是随机斜率。第 7 章会把 cltype * ses_F 加进模型，看四种组合（小班/常班 × 低 SES/非低 SES）的预测均值，并给出明确的政策结论。