Field Notes · 田野笔记

第 6 章给出了一个干净的负面结论：低 SES 学生比非低 SES 学生少考的那 $-19.7$ 分，在各班之间近乎一致。第 5 章给出了另一个干净的正面结论：小班整体提分约 $+7.7$ 分，跨班级稳定。

把这两件事拼起来，自然冒出一个政策问题：小班对低 SES 学生与非低 SES 学生的帮助一样大吗？ 如果一样大，小班政策对所有学生都同样有用，是一种"水涨船高"的处理。如果不一样，比如小班更帮低 SES 学生，那就有一个特别有意义的发现——小班是缩小教育不平等的工具。这个判断决定了"政府要不要专门给低收入学区铺小班政策"这种真实的政治预算决策。

本章用跨层交互来回答这个问题。技术上是把 cltype 和 ses_F 的乘积项加进固定效应。结论会是：本数据下交互项不显著（p $\approx$ 0.71），小班对低 SES 学生（ $+7.09$ 分）与非低 SES 学生（ $+8.20$ 分）的提升几乎一样。但负面结论也有它的政策含义，本章末尾会展开。

跨层交互：班级层变量乘以学生层变量

先看一个生活类比：小班对学习困难学生有没有特别的好处

想象两个孩子，一个家境优渥、家里有大把书，另一个家境困难、放学要去帮父母看店。两人都被随机分进同一所小学，第一种情形下两人都进了小班，第二种情形下两人都进了常班。

直觉上，富裕家庭的孩子在常班里也能学得不错——他们靠家里资源补课。家境困难的孩子在常班里容易被忽略，老师顾不上他们一对一辅导，分数容易拉下。但在小班里，老师能腾出精力关照差异学生，家境困难的孩子得到的"额外注意力"可能比富裕孩子多。

如果这个直觉对，把家境困难的孩子从常班调进小班的提分效应（比如 $+15$ 分）应该大于把家境优渥的孩子从常班调进小班的提分效应（比如 $+5$ 分）。这两个数字不一样，就是交互效应。如果两个数字一样大（都是 $+8$ ），说明小班的好处是"水涨船高"的，不分学生背景。

跨层交互的形式定义

定义跨层交互

def:cross-level-interaction

跨层交互是班级层变量与学生层变量的乘积。设 $D_k$ 是班级 $k$ 的处理（如 cltype）， $x_{ik}$ 是学生 $i$ 的协变量（如 ses_F），含跨层交互的随机截距模型为

y_{ik} = \beta_0 + \beta_1 D_k + \beta_2 x_{ik} + \beta_3 (D_k \times x_{ik}) + u_k + e_{ik}.

其中 $\beta_1$ 是 $x_{ik} = 0$ 时（参照学生）的处理效应， $\beta_2$ 是 $D_k = 0$ 时（参照班级）的协变量效应， $\beta_3$ 是交互项系数——表示" $x_{ik}$ 取 1 时，处理效应比 $x_{ik}$ 取 0 时多出多少"， $u_k$ 是班级随机截距， $e_{ik}$ 是学生残差。

跨层交互的合流结构：班级层处理变量 D_k 与学生层协变量 x_ik 在乘积处合流，得到跨层交互项。系数 β₃ 度量 x_ik 取 1 时处理效应相对 x_ik 取 0 时多出多少——β₃ > 0 意味着低 SES 学生从小班受益更多，β₃ < 0 反之。

公式里 $\beta_3$ 是这一章的核心。如果 $\beta_3 > 0$ ，意味着低 SES 学生（ $x_{ik} = 1$ ）受小班照顾更多；如果 $\beta_3 < 0$ ，意味着低 SES 学生反而受益更少；如果 $\beta_3 \approx 0$ ，说明小班对所有学生一视同仁。

为什么这叫"跨层"交互？ 因为 $D_k$ 在班级层取值， $x_{ik}$ 在学生层取值，两者乘起来跨越了模型的两个层级。如果是 $x_{ik} \times z_{ik}$ 这种"两个学生层变量"的乘积，就叫层内交互；如果是 $D_k \times W_k$ 这种"两个班级层变量"的乘积，就是班级层内的交互。跨层是教育统计里最常见也最有政策含义的一类。

学术背景：Krueger & Whitmore 2001 的差异化效应分析

Krueger 与 Whitmore (2001) 在 Economic Journal 上专门用 STAR 数据回答了本章的核心问题。他们检验小班对不同收入水平学生的差异化效应，发现：小班相对常班让所有学生都受益，但黑人学生与免费午餐学生的提升略大于白人与非免费午餐学生。这个结论后来被反复用作"小班是缩小教育鸿沟的工具"这一政策主张的证据。

他们论文里的差异化效应在统计上虽然指向"低收入受益更多"，但显著性并不强（特别是单看 K 年级）。本章用 lme4 在同一份数据上重跑，会发现 K 年级的跨层交互项不显著（p $\approx$ 0.71），跟 Krueger & Whitmore 在跨年级合并样本上更精细的处理结论略有差别。这个差别背后反映了多层模型里跨层交互的检验功效通常很低，本章末尾的雷区会专门讨论这一点。

教育界对这个问题的辩论从 1995 年延续到现在。Nye 等 (2000) 的跟踪研究、Schanzenbach (2006) 的劳动经济学分析，都使用了 STAR 数据 cltype $\times$ 家庭背景的交互项作为分析工具。本书的 M9 重跑出来的数字虽然不会改变学界共识，但能让读者看到从原始数据到 lmer 的具体路径。

M9：含跨层交互的随机截距模型

下面用 lmer 把 cltype $\times$ ses_F 加进模型。R 里乘号 * 会自动展开为"两个主效应 + 交互项"，所以 cltype * ses_F 等价于 cltype + ses_F + cltype:ses_F。

library(lme4); library(lmerTest); library(tidyverse); library(here)

d <- read_csv(here::here("data", "star_k.csv"), show_col_types = FALSE) |>
  filter(!is.na(math), !is.na(cltype), !is.na(tch),
         !is.na(sx), !is.na(eth), !is.na(ses)) |>
  mutate(
    sex_F  = ifelse(sx == "F", 1, 0),
    eth_B  = ifelse(eth == "B", 1, 0),
    ses_F  = ifelse(ses == "F", 1, 0),
    cltype = factor(cltype, levels = c("reg", "reg+A", "small"))
  )

# M9：跨层交互
m9 <- lmer(math ~ cltype * ses_F + sex_F + eth_B + (1 | tch),
           data = d, REML = TRUE)
summary(m9)

跑出来的关键系数列在下表。

表 7·1　M9 的关键固定效应系数（n = 5,768）

项	$\beta$	SE	p
`cltypesmall`（small 主效应）	8.20	2.85	0.005
`cltypereg+A`（reg+A 主效应）	$-0.85$	2.91	0.77
`ses_F`（低 SES 主效应）	$-19.95$	1.91	$<$ 0.001
`cltypesmall:ses_F`（小班 × 低 SES）	$-1.11$	3.00	0.71
`cltypereg+A:ses_F`（reg+A × 低 SES）	$+1.31$	2.94	0.66

两个交互项的 p 值都远大于 0.05，跨层交互不显著。

用四种组合的预测均值看清楚结论

光看交互项 p 值有时不够直观。更有政策含义的看法是：固定其他协变量在样本平均，算出四种组合（reg/small $\times$ 高/低 SES）下学生的预测数学分数。这就是 predict 配合 model.matrix 能直接给出来的东西。

# 固定 sex_F 和 eth_B 在样本平均
sex_mean <- mean(d$sex_F)
eth_mean <- mean(d$eth_B)

newdata <- expand_grid(
  cltype = factor(c("reg", "reg+A", "small"),
                   levels = c("reg", "reg+A", "small")),
  ses_F  = c(0, 1)
) |>
  mutate(sex_F = sex_mean, eth_B = eth_mean)

mm   <- model.matrix(~ cltype * ses_F + sex_F + eth_B, data = newdata)
beta <- fixef(m9)
V    <- vcov(m9)

newdata <- newdata |>
  mutate(
    pred = as.numeric(mm %*% beta),
    se   = sqrt(diag(mm %*% V %*% t(mm))),
    lwr  = pred - 1.96 * se,
    upr  = pred + 1.96 * se
  )

跑完后六行预测均值整齐摆在下表。

表 7·2　六种"班级类型 × SES"组合的预测数学分数（其他协变量在样本平均）

班级类型	学生 SES	预测分数
reg	非低 SES (N)	493
reg	低 SES (F)	473
reg+A	非低 SES (N)	492
reg+A	低 SES (F)	474
small	非低 SES (N)	501
small	低 SES (F)	480

把"小班减常班"分别在两类学生上算一下：

\mathrm{small}-\mathrm{reg}\ \big|\ \text{非低 SES} = 501 - 493 = 8.20,\quad \mathrm{small}-\mathrm{reg}\ \big|\ \text{低 SES} = 480 - 473 = 7.09.

其中 $8.20$ 和 $7.09$ 都是 K 年级数学分数下"小班相对常班"的提升量，分别针对非低 SES 学生群体和低 SES 学生群体。两个数字相差 $1.11$ 分，正是 M9 里交互项 cltypesmall:ses_F 系数的负值（ $-1.11$ ），p 值 0.71，远不显著。

结果解读政策结论

小班对非低 SES 学生的提升（ $+8.20$ 分）跟对低 SES 学生的提升（ $+7.09$ 分）在统计学上几乎没差别。这意味着小班教育是一种"水涨船高"的处理，对所有学生大致一样有用。它没有像有些政策辩论希望的那样特别照顾差异学生，也没有反方担心的那样只让优势学生受益。

这个结论支持的政策是普及小班而不是专门给低收入学区铺小班——既然差异学生与非差异学生受益一样多，按"哪里需要就在哪里铺"反而能让最多的学生受益。当然这个判断要跟教师成本、学校空间约束放在一起算总账，本章只给出实证证据这一面。

把这个结论可视化：两条平行的折线把不同班级类型 $\times$ SES 的预测分数串起来，两条线之间的距离近乎一致，从常班走到小班时两条线都向上倾斜，倾斜幅度几乎相同——这就是"交互不显著"的几何样貌。再把两个跨层交互项的系数与 95% CI 画成森林图，CI 完全跨过 0，与 p 值结论一致。

班级类型与 SES 的跨层交互预测分数 — 班级类型 × 学生 SES 的预测分数。两条线如果平行说明交互不存在；本数据中两条线接近平行，小班对低 SES 与非低 SES 学生的提升几乎一致。

两个跨层交互项的系数与 95% CI 森林图 — 两个跨层交互项的系数与 95% CI。两条 CI 都跨过 0，统计学上不显著。

交互项不显著的雷区：检验功效低不等于不存在

跨层交互的 p 值不显著之外，还有一个常被忽略的统计学问题——跨层交互项的检验功效通常很低。本节讲清楚这件事。

雷区跨层交互的检验功效问题

lmer 给的"交互项 p $=$ 0.71"是一个负面结论，但这种 p 值的解读要谨慎。多层模型里跨层交互的有效样本量接近班级数 323，远小于学生数 5,768——因为 $D_k$ 在班级内不变化，能识别 $\beta_3$ 的独立信息单位是班级而不是学生。

这意味着 lmer 在估 $\beta_3$ 时实际样本量很小，标准误大，CI 宽。即便真实的差异化效应 $\beta_3 = -3$ 分（也就是小班对低 SES 学生的好处比对非低 SES 多 3 分，是有意义的政策信号），样本量小到这个真实差异也大概率检验不出来。这就是统计学说的"检验功效低"现象——接受零假设不等于零假设是真的，只意味着数据没有给出足够强的反对证据。

诊断方法。 判断"这个不显著有多硬"主要看 95% CI 是否包含一个有政策意义的值。本数据交互项的 95% CI 大约是 $[-7.0, +4.8]$ ，同时容纳了 $\pm 5$ 分的差异化效应，说明数据其实没法排除任何方向。再看交互项 $\beta_3$ 的点估计与 SE 之比（本数据 $-1.11 / 3.00 \approx -0.37$ ），数据强烈支持"接近 0"。更细致的做法是事后功效分析（power analysis），算"如果真实 $\beta_3 = -5$ ，本样本下能检测到的概率是多少"，结果通常是 30% 到 50% 这种偏低的值。

解读规范。 写论文时不能直接说"小班对低 SES 学生没有额外好处"，应该写"在本样本下未观察到显著的差异化效应（ $\beta_3 = -1.11$ , p $=$ 0.71，95% CI $[-7.0, +4.8]$ ）"。后者保留了"也许真有差异，但本数据看不出来"的可能性。

记忆方法。 跨层交互检验是"用班级数当样本量"的检验，p 值不显著时一定要先问自己"功效够不够"，再下结论。

累积方法对比表更新

把 M9 加进累积表。M9 里小班主效应的解读跟 M5 / M6 略有不同——它对应的是" $x_{ik} = 0$ （非低 SES）学生的小班效应"，所以系数是 8.20 而不是 7.7 左右。这是含交互项时主效应解读的一个常见点。本章用整张预测均值表来给出"全样本平均"的小班效应大约是 7.6（ $(8.20 + 7.09) / 2$ 加权后），跟 M5 一致。

表 7·3　累积方法对比（截至第 7 章）

方法	小班 $\beta$	SE	95% CI	$\sigma^2_{\text{class}}$
OLS 朴素	8.21	1.56	[5.15, 11.27]	—
M4：cltype + (1\|tch)	7.90	3.76	[0.55, 15.26]	685
M5：+ 学生协变量	7.68	3.63	[0.57, 14.79]	640
M6：再 + 教师工龄	7.73	3.61	[0.66, 14.80]	632
M7：+ 随机斜率（不显著）	7.69	3.63	[0.57, 14.81]	640
M9：+ 跨层交互	8.20	2.85	[2.61, 13.79]	638

M9 的"小班 $\beta$ "一栏给出的是非低 SES 学生那一类的小班效应（ $\beta = 8.20$ ，SE 2.85）。这跟其他模型给出的"全样本平均小班效应"概念稍有不同，所以这张表里的 M9 行需要带着这个限定来读。

下一章预告

到这里为止，所有模型都把学校层差异当作背景噪声塞进了班级随机截距 $u_k$ 。但在第 1 章已经看到，79 所学校的 K 年级数学均值跨度是 124 分——这部分变异其实是学校层的，跟班级层有本质区别。

第 8 章会把模型扩展为完整的三层结构 (1 | sch/tch)，让学生嵌套在班级里、班级嵌套在学校里。会看到本书一直当作常数的 $\sigma^2_{\text{class}}$ 被拆成 $\sigma^2_{\text{class within school}} + \sigma^2_{\text{school}}$ 两部分，小班效应的估计也会因此从 $7.7$ 漂移到 $8.8$ 左右。同时 LRT 会强烈支持三层结构（p $< 2.2 \times 10^{-16}$ ），这跟本章随机斜率与跨层交互的 LRT 形成鲜明对比，让读者直观感受到"哪些异质性该建模、哪些不该"。