Field Notes · 田野笔记

第 4 章把性别、族裔、家境三类学生层协变量加进了 Level-1，让 5,768 名学生的分数在进入合并之前先被自身背景"解释"了一部分。剩下没解释的部分，最大的一块还是班级之间的差异—— $\sigma^2_{\text{class}} = 649$ 比残差 $\sigma^2_{\text{resid}} = 1595$ 小，但仍然是一个不能忽视的方差源。这块班际差异从哪里来？它有没有结构、能不能被"小班 vs 常班"这个处理变量解释一部分？

本章把核心处理变量 cltype 加进 Level-2，给出本书所有讨论都绕回去的那个数字：小班相对常班，K 年级数学分数大约提高了 7.7 到 7.9 分。 更重要的是，这一章会让读者看到，把 OLS 的 $+8.21$ （SE 1.56）改写成 HLM 的 $+7.90$ （SE 3.76），点估计几乎没变，但对这个数字的把握度变了一大截。这就是本书第一次正式收获多层建模的"果实"。

班级层固定效应：把处理变量放在哪一层

把 cltype 加进模型，在写法上只是 lmer 公式右边加一个项。但它在统计学上属于一个完全不同的类别：班级层固定效应。这个名字背后藏着一个对模型解释力影响巨大的设计决策，本节先把它讲清楚。

先看一个生活类比：班里发助教就像班里多请一个家教

想象一所小学开学第一天，校长把入学的新生全部洗牌，按抽签的方式分进 4 个班里。4 个班的差别只有一个：1 班是小班、2 班是常班、3 班是常班加助教、4 班再补一种。校长这个动作叫班级层随机分配——分配的对象是班，不是单个学生。

这件事情决定了 cltype 在多层模型里只能放在 Level-2，不能放在 Level-1。同一个班里所有学生共享同一个 cltype 值，它的变异完全发生在班与班之间，而不是学生与学生之间。在一个 17 人的小班里，没人是"半个小班学生"，全 17 人都同时享受这种处理。

班里发助教跟班里没助教的区别，就像一个班整体多请了一个家教，整班受益。家教不会只服务班里某一个学生，而是绕着全班转。这正是 cltype 在班级层而不是学生层的原因。

班级层固定效应的形式定义

定义班级层固定效应

def:level2-fixed

设第 $k$ 个班级的处理状态为 $\mathrm{cltype}_k$ ，取值为 reg、reg+A 或 small（参照类是 reg）。把它放进多层模型的 Level-2，得到含班级层固定效应的随机截距模型：

y_{ik} = \beta_0 + \beta_1 \mathbb{1}\{\mathrm{cltype}_k = \texttt{small}\} + \beta_2 \mathbb{1}\{\mathrm{cltype}_k = \texttt{reg+A}\} + u_k + e_{ik},

其中 $y_{ik}$ 是第 $k$ 个班里第 $i$ 名学生的数学分数， $\mathbb{1}\{\cdot\}$ 是指示函数， $\beta_1$ 表示平均而言把一名学生从常班调进小班分数提高了多少， $\beta_2$ 是常班加助教相对常班的差， $u_k \sim N(0, \sigma^2_{\text{class}})$ 是班级随机截距， $e_{ik} \sim N(0, \sigma^2_{\text{resid}})$ 是学生残差。

公式里 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 都没有学生下标 $i$ ，因为它们对班里所有学生都一样。这正是把它放在 Level-2 的统计含义：处理变量在班级层取一个值，整班共享。

为什么要这样写？因为如果错把 cltype 当作学生层变量，假设它能在班里的学生之间变化，模型会误以为有效样本量是 5,768 而不是班级数 323。这正是第 2 章讨论过的"独立性假设破坏标准误"的精确版本。

多层模型里识别处理效应的关键：随机分配在哪一层

定义处理效应在多层模型中的识别

def:trt-id-mlm

当处理变量 $D_k$ 在第 $k$ 个班级层被完全随机地分配，即 $D_k \perp\!\!\!\perp (u_k, e_{ik})$ ，则在含 $D_k$ 的随机截距模型中， $D_k$ 的系数是因果意义上的平均处理效应。如果分配不是随机的， $D_k$ 的系数还会包含选择偏差。

STAR 数据的优势就在这一点。班级类型是 1985 年校长抽签决定的，跟班级随机截距 $u_k$ 在分配那一刻独立。所以 $\beta_1$ 这个估计可以直接读作"小班相对常班的平均处理效应"，不需要再做倾向得分匹配、双重差分或者其他因果识别策略。

这点和一般观察性多层数据相当不同。 如果数据里"小班"是因为家长给孩子报名精英小班自己跑去报的，那么 cltype 跟 $u_k$ 就不独立——精英小班的家庭背景本来就更优， $\beta_1$ 不再是因果效应。STAR 因为是随机分配的实验数据，绕开了这个问题。本章接下来给出的所有数字都建立在这个识别基础上。

学术背景：为什么 STAR 是教育统计的奠基样本

随机分配的小班实验在 1985 年之前几乎没人做过。教育界长期靠观察性数据推论小班效应，但低生师比的学校往往本身就有更好的资源、更优秀的师生，混杂得一塌糊涂。Mosteller (1995) 在 The Future of Children 上发表了 STAR 的早期分析，论文标题直接叫《幼儿园到三年级班额减小研究：作为美国教育史上最重要实验的田纳西研究》。从那以后，STAR 数据成了教育政策辩论的关键证据。

经济学界对 STAR 的引用更频繁。Krueger (1999) 在 Quarterly Journal of Economics 上用 STAR 数据估算了小班效应的劳动经济学含义，给出了"分到小班一年大约能拉高 0.2 个标准差测试分数"这个被广泛引用的数字。Krueger 与 Whitmore (2001) 又跟踪 STAR 学生的中学表现，提出小班效应不仅在小学存在，还能延续到 SAT 和大学入学率。

后来 lme4 的作者把 STAR 收进 mlmRev 包作为多层建模教学的标准样本，正是因为它同时具备几样珍贵的特性：处理是随机的（因果可识别）、嵌套结构清楚（学生—班级—学校）、样本足够大（5,768 名学生）。本章接下来用 lme4 对它跑出来的数字，与 30 年来教育统计文献里的数字会高度一致。

从 M3 到 M4：把 cltype 放进随机截距模型

第 4 章给出了 M3——含三个学生层协变量（性别、族裔、家境）的随机截距模型。它给出了 $\sigma^2_{\text{class}} = 649$ 的班级方差。本章 M4 在它的基础上把 cltype 加进去，看看处理效应能不能在这个班级方差里"咬一块出来"。

为什么先单独跑 M4 再加学生层协变量

把 M4 设计成"只含 cltype"，不含学生层协变量，是为了把"处理效应这一项的纯贡献"和"加了学生协变量后的稳定性"分开看。这是经济学和教育统计文献里常见的逐层加变量做法，目的是让读者看清每一步的边际效果。

library(lme4); library(lmerTest); library(tidyverse); library(here)

d <- read_csv(here::here("data", "star_k.csv"), show_col_types = FALSE) |>
  filter(!is.na(math), !is.na(cltype), !is.na(tch), !is.na(sch),
         !is.na(sx), !is.na(eth), !is.na(ses), !is.na(exp)) |>
  mutate(
    sex_F  = ifelse(sx == "F", 1, 0),
    eth_B  = ifelse(eth == "B", 1, 0),
    ses_F  = ifelse(ses == "F", 1, 0),
    cltype = factor(cltype, levels = c("reg", "reg+A", "small")),
    exp_c  = exp - mean(exp, na.rm = TRUE)   # 教师工龄中心化
  )

# M4：仅班级层处理变量
m4 <- lmer(math ~ cltype + (1 | tch), data = d, REML = TRUE)
summary(m4)

# M5：加学生层协变量
m5 <- lmer(math ~ cltype + sex_F + eth_B + ses_F + (1 | tch),
           data = d, REML = TRUE)

# M6：再加教师工龄
m6 <- lmer(math ~ cltype + sex_F + eth_B + ses_F + exp_c + (1 | tch),
           data = d, REML = TRUE)

把代码扔进 R 跑出来的 M4 关键数字在下表里。三个模型给出的小班系数在 $7.68$ 到 $7.90$ 之间晃，标准误在 $3.61$ 到 $3.76$ 之间晃，p 值都在 $0.033$ 到 $0.036$ 之间。

表 5·1　M4–M6 的关键系数（n = 5,768，323 班）

模型	small $\beta$	SE	p	reg+A $\beta$
M4：cltype + (1\|tch)	7.90	3.76	0.036	$-0.65$
M5：+ 学生协变量	7.68	3.63	0.035	$0.14$
M6：再 + 教师工龄 `exp_c`	7.73	3.61	0.033	$-0.20$

结果解读

三个模型的小班系数都落在 $7.7$ 到 $7.9$ 之间，差距远小于一个 SE（ $\approx 3.6$ ）。这说明本章给出的核心数字对模型设定不敏感：哪怕加进或拿掉学生层协变量、教师工龄，结论几乎不变。这种稳定性是因果证据可信度的一种体现，因为如果小班效应只是某个混淆变量的伪相关，加进相关协变量后系数应该会大幅缩水。

常班+助教的系数始终在 0 附近（ $-0.65, +0.14, -0.20$ ），p 值全部接近 1。这与第 1 章的朴素均值差 $\bar{y}_{\text{reg+A}} - \bar{y}_{\text{reg}} = -0.4$ 一致。结论是助教这个变量基本无效，至少在 K 年级数学分数上看不出差别。

对比朴素 OLS 与 HLM：点估计稳，标准误膨胀

把朴素 OLS（ $\beta = 8.21$ , SE 1.56）摆到 M4 旁边，可以看到一个标志性的对比：点估计仅相差 0.31 分，标准误从 1.56 涨到 3.76，足足放大了 2.4 倍。

这跟第 2 章讨论的设计效应完全一致。 $\mathrm{DEFF} = 5.88$ 的有效样本量大约是 $5{,}768 / 5.88 \approx 980$ ，开根号正好把 SE 放大约 $\sqrt{5.88} \approx 2.42$ 倍。OLS 之所以给出 SE 1.56，是因为它把 5,768 名学生当独立观测；HLM 给出的 SE 3.76 才是诚实地承认 17 名同班学生只值"约 4 个独立观测"之后的真实不确定度。

停下来想一想。 如果一个研究只报告 OLS 结果（ $\beta = 8.21$ , p $<$ 0.001），读者会觉得小班效应板上钉钉。换成多层模型后（ $\beta = 7.90$ , p = 0.036），仍然显著，但已经是"擦着 5% 显著线过去"的水平。这就是为什么严肃的教育政策评估都要求分析多层结构而不是用 OLS 凑数。

把这层意思放到森林图里：横轴是小班相对常班的分数提升，每一行是一个模型。OLS 的横线最短，HLM 系列的横线长 2.4 倍，但所有点估计都集中在 8 分附近。

不同模型设定下小班效应的森林图 — 小班效应在不同模型设定下的森林图：点估计在 7.68 到 8.21 之间高度集中，但 95% CI 宽度在 OLS 和 HLM 之间差异显著。

班级层方差被 cltype 解释了多少

加完 cltype 之后还要做一件事——看看班级层方差有没有被它解释一部分。如果 cltype 真的把班际差异的一部分"咬掉了"，那 $\sigma^2_{\text{class}}$ 应该比 M3 小。下表给出真实数字。

表 5·2　班级层方差在 M3–M6 之间的变化

模型	$\sigma^2_{\text{class}}$	$\sigma^2_{\text{resid}}$	相对 M3 的"R $^2$ "
M3：仅学生协变量	649	1516	—
M4：cltype + (1\|tch)	685	1595	$-5.5\%$
M5：cltype + 学生协变量	640	1516	$+1.4\%$
M6：再 + 教师工龄	632	1515	$+2.6\%$

结果解读

M5 把班级层方差从 649 降到 640，cltype 解释了班级层方差的 1.4%。这个数字非常小，意味着班级之间的差异主要不是处理类型本身造成的，更多来自老师质量、班里学生组合的随机波动、班级氛围这些没能进入模型的因素。M6 加进教师工龄后再降 8 分，反映了"老师经验"也只能解释一小块班际差异。

小数字配上显著的处理系数，给出一个明确的结论：小班效应是真的，但它只占班际差异的一小块。绝大多数班际方差另有来源，需要更多信息（教师评估、教学风格、班级组成）才能进一步刻画。这也是后续章节要讨论的方向。

雷区班级层方差不是 OLS 里的 R²

M4 的 $\sigma^2_{\text{class}} = 685$ 比 M3 的 649 还大，相对 M3 的"R $^2$ "是 $-5.5\%$ 。加了一个有意义的解释变量却让方差升高，需要单独解释。

这其实是多层模型里一个常见但被低估的现象。M3 的随机截距 $u_k$ 在估计时，把所有班际差异（包括 cltype 造成的部分）都吸进了 $\sigma^2_{\text{class}}$ ，并通过学生协变量稍微修正了一下。M4 把 cltype 拎出来作为固定效应，但同时也改变了模型里"班级随机截距对应的参考点"——M3 里 $u_k$ 围着全样本均值波动，M4 里 $u_k$ 围着常班均值波动（因为 reg 是参照类），两者的方差有可能不严格相等。更细致的原因是 cltype 不是连续协变量，REML 估计的方差成分对协变量编码方式不完全单调。

诊断方法。 不要把" $\sigma^2_{\text{class}}$ 没下降"理解为"模型变差了"，而要看固定效应的解释力。M4 给出的处理系数 $7.90$ 与样本均值差 $8.08$ 接近，处理效应被正确识别出来了；班级方差没缩反胀只是 REML 估计的副作用。M5（加了学生协变量后）的 $\sigma^2_{\text{class}} = 640$ 才是更可靠的"班级方差剩多少"参照值。

记忆方法。 多层模型里"班级层 R $^2$ "这个数字本来就不存在标准定义，最好的做法是给出所有模型的 $\sigma^2_{\text{class}}$ 表格，让读者自己看变化，不要把它强行套进 OLS 里"R $^2$ "的解读框架。

班级 BLUP 的变化：班际差异在解释什么之后还剩多少

第 3 章解释过班级 BLUP 是什么——每个班的"被收缩过的"随机截距估计。一个有意思的对比是 M4 的 BLUP（仅 cltype）跟 M5 的 BLUP（加了学生协变量）之间有没有变化。

加入学生层协变量后 M4 与 M5 的班级 BLUP 散点对比 — 加入学生层协变量后的班级 BLUP 收缩。横轴是 M4 的班级 BLUP，纵轴是 M5 的班级 BLUP；两者高度相关但 M5 的散点稍向 0 收紧，说明学生背景能解释一部分班际差异。

把 M4 与 M5 的班级 BLUP 画成散点图，两者高度相关，散点近似落在 $y = x$ 直线上，但整体略向 0 方向收紧。解读是：M4 的 BLUP 包含了"学生组成不同造成的班级均值偏移"，M5 把学生协变量纳入固定效应后，这部分偏移被剥离出去，剩下的 BLUP 更接近"老师本身的特质 + 班级氛围"那一块。

停下来想一想。 如果某个班 BLUP 在 M4 是 $+15$ （看起来这班特别厉害），但 M5 里降到 $+10$ ，这 5 分的差距就是被学生背景解释掉的部分。剩下的 $+10$ 才是除去学生组成之后这位老师真正让全班"超出平均"的那一份。这个洞见在评估教师效能（teacher value-added）的文献里被反复使用。

累积方法对比表（首次建立）

从本章开始，本书每章末尾都会更新一张累积对比表，把当章给出的小班效应、对应标准误、方差分量并列上去。到第 10 章会合并为终极版。本章是这张表的起点，前两行是对比基准（OLS 朴素和 HLM 仅 cltype），后两行是本章重点的 M5 和 M6。

表 5·3　累积方法对比（截至第 5 章）

方法	小班 $\beta$	SE	95% CI	$\sigma^2_{\text{class}}$
OLS 朴素	8.21	1.56	[5.15, 11.27]	—
M4：cltype + (1\|tch)	7.90	3.76	[0.55, 15.26]	685
M5：+ 学生协变量	7.68	3.63	[0.57, 14.79]	640
M6：再 + 教师工龄	7.73	3.61	[0.66, 14.80]	632

第 8 章引入三层结构后，这张表会扩出 $\sigma^2_{\text{school}}$ 一列。第 10 章会再补 AIC/BIC 与终极结论。

下一章预告

到这里，本书第一个核心因果数字已经稳稳落在表上：小班相对常班，K 年级数学分数提高约 7.7 分，p 值约 0.035。但这个数字隐含一个假设——所有班级对低 SES 学生的"补偿效应"都一样。换句话说，M5 模型里 ses_F 的斜率被假定为固定值，每个班的"低 SES 学生比非低 SES 学生少多少分"都是同一个数。

这个假设合理吗？某些班级里的老师可能格外擅长照顾低 SES 学生，让差距收窄；另一些班可能差距更大。这种"斜率随班级变化"的现象，技术上叫随机斜率。第 6 章会让 ses_F 的斜率也成为随机效应，看看班际差距到底有没有显著的异质性，并用 LRT 给出明确的检验结果。