Field Notes · 田野笔记

第 3 章把空模型解释清楚了，但模型右边只有截距加随机效应。STAR 数据里的 sx、eth、ses 三个学生层变量根本还没动过。教育研究的常识告诉我们这三个变量都跟学习成绩相关——女生在小学阶段普遍数学略好、不同族裔学生在标化测试上有系统差异、低社会经济状况的孩子家里学习资源少。这一章的任务是把它们正式加进模型，看它们会怎么影响方差分量与小班效应估计。

加之前先要把样本量重新对齐。前两章用的是 5,786 名学生，因为只要 math、cltype、tch、sch 不缺即可。本章再加 sex、eth、ses 三个协变量做非空过滤，剩下 5,768 名学生分散在 323 个班里。差掉的 18 名学生跟 14 个班对全局结论没影响，但本章及之后的所有数字都基于这个新样本。

本章先一步步加变量观察方差分量怎么变，再讲组均值中心化怎么把同一个变量的"组内"与"组间"两块效应分开。最后用一个雷区警告：直接放原变量会把组内组间效应压成单一系数，而这个单一系数没有清晰的因果含义。第 5 章会把处理变量 cltype 加进来，正式给出本书第一个"考虑学生层协变量之后"的小班效应估计。

逐步加入学生层协变量：方差分量的变化

先把基线锚清楚。本章样本（n = 5,768，323 班）下重新拟合空模型，得到 $\tau^2 = 649$ 、 $\sigma^2 = 1{,}595$ 。班级间方差比第 3 章的 689 略低，是因为去掉的几个班里有方差较大的；班级内方差几乎没变。这两个数字是本节所有"协变量解释了多少方差"的参照基线。

接下来三轮加变量。第一轮加性别 sex_F（女生 = 1，男生 = 0），第二轮再加族裔 eth_B（黑人 = 1，其他 = 0），第三轮再加 SES ses_F（享受免费午餐 = 1，自费 = 0）。

library(tidyverse)
library(lme4)
library(lmerTest)
library(here)

d <- read_csv(here::here("data", "star_k.csv"), show_col_types = FALSE) |>
  filter(!is.na(math), !is.na(cltype), !is.na(tch), !is.na(sch),
         !is.na(sx), !is.na(eth), !is.na(ses)) |>
  mutate(sex_F = ifelse(sx  == "F", 1, 0),
         eth_B = ifelse(eth == "B", 1, 0),
         ses_F = ifelse(ses == "F", 1, 0))   # F = free lunch

m0 <- lmer(math ~ 1 + (1 | tch), data = d, REML = TRUE)
m1 <- lmer(math ~ sex_F + (1 | tch), data = d, REML = TRUE)
m2 <- lmer(math ~ sex_F + eth_B + (1 | tch), data = d, REML = TRUE)
m3 <- lmer(math ~ sex_F + eth_B + ses_F + (1 | tch), data = d, REML = TRUE)

summary(m3)$coefficients
#             Estimate Std. Error      df t value Pr(>|t|)
# (Intercept)  500.36     2.71   353.7  184.8  <2e-16
# sex_F          6.13     1.04  5479.9    5.9  4.0e-09
# eth_B        -14.34     1.95   358.8   -7.4  1.0e-12
# ses_F        -19.71     1.25  5650.2  -15.7  <2e-16

结果解读

三个固定效应的方向跟教育研究的既有发现完全一致。女生平均比男生数学多 6.13 分（ $p < 10^{-8}$ ），尺度上对应约 0.13 个分数标准差。黑人学生平均比其他族裔少 14.34 分（ $p < 10^{-12}$ ），约 0.30 个标准差，是这三个变量里效应最大的之一。享受免费午餐的学生（低 SES 标志）平均比自费学生少 19.71 分（ $p < 2 \times 10^{-16}$ ），约 0.42 个标准差，效应规模最大。

这些效应不是因果效应，是描述性的差距。族裔与 SES 都不能随机分配，估出来的系数把"族裔本身的影响"和"族裔关联的所有其他社区、家庭、学校因素"混在一起。但这些数字仍然有用：它们告诉我们 K 年级数学分数在人群中是怎么分布的，作为后续因果分析的描述性背景。

更值得读的是方差分量怎么变。下表把四个模型并列：

表 4·1　加入学生层协变量后的方差分量变化

模型	$\tau^2$ （班级间）	$\sigma^2$ （班级内）	解释 within	解释 between
M0：空模型	649	1,595	0	0
M1：+ sex_F	648	1,575	1%	0
M2：+ eth_B	643	1,548	3%	1%
M3：+ ses_F	641	1,516	5%	1%

学生层协变量逐步加入后的方差分解。班级内方差被压下了 79 分（约 5%），班级间方差几乎没动。

读这张表的关键是看两列方差的对比变化。学生层协变量从 M0 加到 M3，班级内方差 $\sigma^2$ 从 1,595 降到 1,516，压了 79 分约 5%；班级间方差 $\tau^2$ 从 649 降到 641，几乎没动。这个对比给出一条重要的经验规律：学生层协变量主要解释学生层方差。

为什么会这样？想一个班里 17 名学生的分数构成。这 17 个分数差距来自两类因素：一类是这 17 人有男有女、有不同族裔、有不同 SES，这些差异让班里学生的分数高低不同；另一类是这一班整体跟其他班相比有不同基线（老师、教室、班级氛围）。学生层变量解释第一类差异，所以压 $\sigma^2$ ；但对班际基线没什么帮助，所以 $\tau^2$ 几乎不动。要解释 $\tau^2$ ，得靠班级层或学校层变量，这是第 5 章的事。

组均值中心化：把"班内效应"与"班间效应"分开

学生层协变量里有一个特殊的家伙：SES。它跟性别、族裔不太一样。性别在班里比例大概 50/50，族裔比例由学校所在社区决定但跟班际差异关系不大；SES 不同，低 SES 学生在 STAR 里集中分布在某些学校与班级里，班际 SES 比例从接近 0 到接近 100% 都有。

这种集中分布带来一个值得分开看的现象——同一个 SES 变量在两个层面起作用。一个层面是学生层："这名孩子家里享受免费午餐，相对班里同学，他自己的分数会怎样？" 另一个层面是班级层："这个班里享受免费午餐的学生比例高，整个班级的基线会怎样？" 两个问题在数据上对应同一个变量，但在因果上是两件事。

定义组均值中心化 CMC

def:cmc

对学生层变量 $x_{ik}$ ，组均值中心化（centering within cluster，CMC）把它分解为两部分：

x_{ik} = \bar{x}_k + (x_{ik} - \bar{x}_k),

其中 $\bar{x}_k$ 是班级 $k$ 的均值（class-mean，反映班级层信息）， $x_{ik} - \bar{x}_k$ 是该学生相对班级均值的偏差（within-cluster，反映学生层信息）。把这两个量分别作为两个变量加进多层模型，可以让"班间效应"和"班内效应"被两个独立的系数分别估计。

组均值中心化的双路径分解示意 — 组均值中心化把同一个学生层变量拆成两路：班级均值 x̄_k 承载班间效应 β_B，反映高 SES 浓度的班级整体表现；偏差 x_ik − x̄_k 承载班内效应 β_W，反映同班同学之间的个体差异。两路各有一个系数，因果含义不再混淆。

用 SES 把这个分解走一遍。ses_F 取值 0 或 1。班级 $k$ 里享受免费午餐的学生比例 $\overline{\text{ses\_F}}_k$ 就是这个班的"低 SES 浓度"。某名学生的 $\text{ses\_F} - \overline{\text{ses\_F}}_k$ 是他相对班里 SES 平均水平的偏差——如果他享受免费午餐而班里只有 30% 的同学享受，他的组内偏差是 $1 - 0.3 = 0.7$ 。

把这两个变量都加进随机截距模型：

d_cent <- d |>
  group_by(tch) |>
  mutate(ses_class = mean(ses_F)) |>
  ungroup() |>
  mutate(ses_within = ses_F - ses_class)

m_cmc <- lmer(math ~ ses_within + ses_class + (1 | tch),
              data = d_cent, REML = TRUE)
summary(m_cmc)$coefficients
#             Estimate Std. Error      df t value Pr(>|t|)
# (Intercept)  500.6      2.16   332.0  231.5  <2e-16
# ses_within   -21.60     1.27  5430.5  -16.9  <2e-16
# ses_class    -26.92     5.31   349.6   -5.1  6.1e-07

# 不分解的对照模型
m_plain <- lmer(math ~ ses_F + (1 | tch), data = d_cent, REML = TRUE)
summary(m_plain)$coefficients["ses_F", "Estimate"]
# [1] -21.89

结果解读

关键看三个数字。组内 SES 效应 = $-21.60$ ：在同一个班里，享受免费午餐的孩子比同班自费同学平均低 21.6 分。组间 SES 效应 = $-26.92$ ：把整班的免费午餐比例从 0 拉到 100%，整班基线下移 26.9 分。不分解的混合系数 = $-21.89$ ，几乎完全等于组内效应。

组间效应（ $-26.92$ ）比组内效应（ $-21.60$ ）大 5 分多。这说明"低 SES 学生集中的班级"对班里所有学生都不利——不光是低 SES 学生自己分数低，连同班的自费学生也会因为班级整体氛围、师资分配、课程难度调整等等被拉下来一截。这是教育不平等研究里反复出现的"组合效应"现象。

为什么不分解的混合系数 $-21.89$ 离组内效应 $-21.60$ 这么近，而离组间效应 $-26.92$ 远？因为加权方式偏向组内。混合系数本质上是组内效应跟组间效应的某种加权平均，权重由协变量的组内方差跟组间方差的比例决定。SES 在 STAR 里的组内方差远大于组间方差（每个班里 SES 比例不是 0 就是 1 两种极端），加权平均自然偏向组内那一边。这种"系数被组内吃掉"的现象在不分解的模型里很难诊断，往往导致研究者错把组内效应当成"个体 SES 的普遍效应"。

停下来想一想。 如果一所学校的政策制定者看到 ses_F 系数是 $-21.89$ ，他会得到什么结论？大概是"享受免费午餐的孩子需要更多帮助"。这条结论本身没错，但漏了一半信息——把整班 SES 比例降下来（比如混合社区招生）会带来一个独立的、更大的提升。组均值中心化的价值就是把这两条政策建议分开来给。

为什么不分解会出问题：组内组间被压成单一系数

雷区直接放原变量会把组内组间效应混合成单一系数

对 SES 这种"在个体和班级两个层面都有效应"的变量，模型 math ~ ses_F + (1|tch) 估出来的 $-21.89$ 是组内效应与组间效应的加权混合，权重由变量本身的组内方差与组间方差比例决定，因此这个系数在因果上没有清晰含义。

诊断方法：怀疑某个学生层变量在班级或学校层有"集中分布"现象时，先算 $\bar{x}_k$ 在班际之间的方差，再跟个体 $x$ 在班内的方差比。如果班际方差占总方差超过 5%（也就是变量本身的 ICC $>$ 0.05），就应该用 CMC 拆开来跑。

记忆方法：教育与组织研究里，凡是"个体特征"跟"组成员构成"相关的变量都要警惕——SES、学习成绩、专业兴趣、年龄、工作经验。性别跟族裔在班级随机分配的情况下班际方差小，可以不拆，但严格起见也建议做一次诊断。Curran 与 Bauer 2011 年在 Annual Review of Psychology 上有一篇综述专门讲这件事的危害与处理。

CMC 这个方法在多层建模文献里有几个不同名字，含义都一样：组均值中心化、group-mean centering、within-between 分解。Raudenbush 与 Bryk 1992 年的 Hierarchical Linear Models 把它写进教科书；Snijders 与 Bosker 2012 年的 Multilevel Analysis 给了更细的指南，尤其是讨论"班级均值"作为协变量时班级人数大小对估计稳定性的影响。班级人数 $n_k$ 太小（少于 5 人）的话班级均值估计本身就很噪声，不建议直接拿来当协变量；STAR 里每班平均 17 人，这个问题不严重。

学生层之上还有班级层与学校层

本章把学生层协变量这块讲完了。读者现在应该能复述：性别、族裔、SES 三个变量加进随机截距模型后，班级内方差 $\sigma^2$ 从 1,595 降到 1,516，压了 5%；班级间方差 $\tau^2$ 几乎没动，因为学生层变量解释不了班际基线差异。SES 这种"在班级里集中分布"的变量值得用组均值中心化拆开，让组内效应（ $-21.60$ ）跟组间效应（ $-26.92$ ）各自有清晰系数；不拆的话两者会被压成一个 $-21.89$ 的混合数字，因果含义模糊。

但本章一直绕开了"小班 vs 常班"这件事。处理变量 cltype 是班级层变量——同一个班里所有学生共享同一个班级类型。它要进入模型，跟学生层的性别、族裔、SES 不在同一层。下一章正式把 cltype 加进来，给出本书第一个"考虑了所有学生层与班级层协变量之后"的小班效应估计。读者会看到点估计从纯朴素 OLS 的 $+8.21$ 漂到带学生协变量的 $+7.68$ ，标准误从 1.50 涨到 3.63，跟第 2 章给出的"嵌套结构会膨胀 SE"的逻辑完全一致。第 5 章也是本书第一次更新累积对比表的章节——往后每章都会把当前模型的小班效应数字加进去，到第 10 章合并成一张终极对比。